Фокусы

Дайте вашему товарищу две монеты: одну с четным числом копеек, а другую — с нечетным (например, двухкопеечную и трехкопеечную). Пусть он, не показывая вам, одну из этих монет

(любую) возьмет в правую руку, а вторую — в левую. Вы можете легко угадать, в какой руке у него какая монета.

Предложите ему утроить число копеек, содержащихся в монете, зажатой в правой руке, и удвоить число копеек, содержащихся в монете, зажатой в левой руке. Полученные результаты пусть он сложит и вам назовет только образовавшуюся сумму.

Если названная сумма четная, то в правой руке 2 копейки, если — нечетная, то 2 копейки в левой руке.

Объясните, почему всегда так получается?

Пусть монета с четным числом копеек (например, двухкопеечная) — в правой руке, а монета с нечетным числом копеек (например, трехкопеечная) — в левой. Тогда утроенное четное число останется числом четным и удвоенное нечетное будет тоже четным, а сумма четных чисел тоже обязательно четная.

Пусть теперь монета с нечетным числом копеек (например, трехкопеечная) — в правой руке, а монета с четным числом копеек (например, двухкопеечная) — в левой. Тогда утроенное нечетное число останется числом нечетным, а удвоенное четное будет числом четным. Сумма же чисел нечетного и четного обязательно нечетная.

Задумайте какие-либо два положительных целых числа. Сложите их сумму с их произведением и скажите мне результат. Как спортсмен берет высоту после одной, двух попыток, так и я берусь угадать задуманные вами числа быстро, но, может быть, тоже не с первого раза.

Метод прост, хотя и не очевиден. Я прибавлю 1 к вашему результату, полученное число разложу на два множителя и от каждого множителя отниму по 1.

Пример 1. Мне сообщили результат: 34. Вычисляю: 34 + 1 = 35; далее: 35 = 5 · 7, а также: 35 = 35 · 1. Следовательно, задуманные числа 4 и 6 или 34 и 0.

Могу предложить вам вычесть сумму задуманных чисел из их произведения. Теперь, чтобы узнать задуманные числа, я опять прибавлю 1 к вашему результату, разложу полученное число на два множителя и к каждому прибавлю по 1.

Пример 2. Сообщили результат: 64. Вычисляю: 64 + 1 = 65; 65 = 13 · 5 или 65 = 65 · 1. Следовательно, задуманные числа 14 и 6 или 66 и 2.

Отвернитесь и предложите двум участникам фокуса, пусть это будут Женя и Шура, взять одному карандаш, а другому резинку. Далее скажите:

— Обладателю карандаша назначаю число 7, обладателю резинки — число 9 (числа могут быть и иными, причем обязательно одно простое, а другое составное, но не делящееся на первое).

— Женя, умножь свое число на 2, а Шура на 3 (одно из этих чисел должно целое число раз содержаться в назначенном вами составном числе, как, например, 3 в 9, а другое должно быть с ним взаимно простым, как например, 3 и 2).

— Сложите результаты и скажите мне сумму или скажите, делится ли эта сумма без остатка на 3 (на то данное вами число, которое содержится множителем в назначенном составном числе). Узнав это, вы тотчас можете определить, кто взял карандаш, а кто резинку.

В самом деле, если полученная сумма делится на 3, — это значит, что на 3 умножено число, не делящееся на 3, то есть 7. Зная, кто умножал свое число на 3 (Шура) и что число 7 назначено обладателю карандаша, вы заключаете, что карандаш у Шуры. Наоборот, если полученная сумма не делится на 3, то это значит, что на 3 было умножено число, делящееся на 3, то есть 9. В этом случае у Шуры — резинка.

Как вы докажете этот фокус?